设f(x)函数在数集X上有定义,试证:函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界.

问题描述:

设f(x)函数在数集X上有定义,试证:函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界.

证明:
若函数f(x)在X上有界,
则存在M>0,对任意x∈X,
|f(x)|-M若函数f(x)在X上既有上界又有下界,
即对任意x∈X,存在m使m取正数M=max{|m|,|n|}
有-M≤m即-M |f(x)|