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已知函数f（x）=x3-3ax2-bx，其中a，b为实数，（1）若f（x）在x=1处取得的极值为2，求a，b的值；（2）若f（x）在区间[-1，2]上为减函数，且b=9a，求a的取值范围．

分类: 作业答案 • 2021-12-19 18:06:12

问题描述：

已知函数f（x）=x³-3ax²-bx，其中a，b为实数，
（1）若f（x）在x=1处取得的极值为2，求a，b的值；
（2）若f（x）在区间[-1，2]上为减函数，且b=9a，求a的取值范围．

答

（Ⅰ）由题设可知：f'（1）=0且f（1）=2，
即

3−6a−b＝0

1−3a−b＝2

，
解得a＝

4

3

，b＝−5．；
（Ⅱ）∵f'（x）=3x²-6ax-b=3x²-6ax-9a，
又f（x）在[-1，2]上为减函数，
∴f'（x）≤0对x∈[-1，2]恒成立，
即3x²-6ax-9a≤0对x∈[-1，2]恒成立，
∴f'（-1）≤0且f′（2）≤0，
即

3+6a−9a≤0

12−12a−9a≤0

⇒

a≥1

a≥

4

7

⇒a≥1，
∴a的取值范围是a≥1．