求方程5x+23y=21的整数解

法一：变形得x=(21-23y)/5=4+(1-23y)/5,要使x是整数,则1-23y必须为5的倍数,这样,-23y的个位数可以是4(-23y不妨认为是正数),此时令y取-8,得x=41
,注意,x=41,y=-8仅仅是一组特解,事实上,方程5x+23y=21的整数解有无穷个,这就要求我们寻找到他的所有解的一般形式,令x=41+23n,y=-8-5n,其中n
可取任意整数,这就是方程5x+23y=21的整数解的某一种一般表达式,称之为通解,可代入方程检验.还有一点要注意23与5分别是方程中y,x的系数.
法二：这种解法让你有一种进食"智慧快餐"的味道.方程变形,5x=21-23y,这可以看作5x被23除余21,记作5x≡21(mod23)(具体情况请参考同余方面的知识),右边可以加上23的倍数(作为一个问题思考一下),比如加上8*23,则5x≡205(mod23）,两边同时约去5(这里5与23互质,如果不是这样,就不可以约去),得x≡41(mod23）,从而可以令x=23k+41(k是任意整数),将其代入方程得5(23k+41)+23y=21,即23y=21-115k-205=-184-115k,故y=-8-5k.这样就得到了通解.
注：对于一般形式的不定方程ax+by=c(其中a,b,c均为整数),若它有整数的特解
x=x0,y=y0,则其通解可表示为x=x0+bm,y=y0-am(m为任意整数).
这样的方程叫做不定方程,它的正整数解的求法还有许多种,这里不再一一赘述.