关于导数的一道题
问题描述：
关于导数的一道题
f（x）连续,且x=0处的导数大于零,那么存在一个数a,使得
A.f(x)在(0,a)内单调递增 B.f(x)在(0,a)内有 f(x)>f(0)
答案选的B,我纠结的是为什么不选A,我觉得A也正确嘛,说说理由
答
我们可以找一个满足条件的函数f,使得f在任何的(0,a)内不单调.
考虑下面的分段形式定义的函数
f(x) = x^2 * sin(1/x) + x/2,当x不等于0；
0,当x等于0；
容易知道f'(0) = 1/2 > 0,
当x不为零时,f'(x) = 2x*sin(1/x) - cos(1/x) + 1/2.
不论a是多小的正数,
在(0,a)内,总有点1/(2n*pi),使得f'(1/(2n*pi)) = - 1/2 这说明f在(0,a)内不是单调增的；
在(0,a)内,也总有点1/(2n*pi + pi),使得f'(1/(2n*pi + pi)) = 3/2 > 0,
这说明f在(0,a)内不是单调减的；
也就是说,无论正数a多小,f(x)在(0,a)内都不单调.
这里例子可以吗?