△ABC中,AC=3,BC=4,AB=5.P在平面ABC的射影为AB的中点D. (1)求证:AB与PC不垂直; (2)当∠APC=60°时, ①求三棱锥P-ABC的体积; ②求二面角P-AC-B的正切值.

问题描述:

△ABC中,AC=3,BC=4,AB=5.P在平面ABC的射影为AB的中点D.

(1)求证:AB与PC不垂直;
(2)当∠APC=60°时,
①求三棱锥P-ABC的体积;
②求二面角P-AC-B的正切值.

(1)证明:连CD,若AB⊥PC,则AB⊥CD,
∵CD是线段AB的垂直平分线,∴AC=BC,
这与AC≠BC矛盾.
故AB与PC不垂直.(4分)
(2)①由勾股定理,∠ACB是直角,D是斜边AB的中点,
∴CD=AD,PA=PC,△PAC为正三角形,(6分)
PC=AC=3,CD=

5
2
PD=
11
2

VP−ABC
1
3
×
1
2
×4×3×
11
2
11
(8分)
②取AC的中点E,连PE、DE,
则∠PED就是所求二面角的平面角,(10分)
由于DE=2,故所求角的正切值为
11
4
(12分)