已知定义在实数集R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c，d是实数． （1）若函数f（x）在区间（-∞，-1）和（3，+∞）上都是增函数，在区间（-1，3）上是减函数，并且f（0）=-7，f′（0）=
问题描述：
已知定义在实数集R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c，d是实数．
（1）若函数f（x）在区间（-∞，-1）和（3，+∞）上都是增函数，在区间（-1，3）上是减函数，并且f（0）=-7，f′（0）=-18，求函数f（x）的表达式；
（2）若a，b，c满足b2-3ac＜0，求证：函数f（x）是单调函数．
答
解（1）f′（x）=3ax2+2bx+c．
由f'（0）=-18得c=-18，即f′（x）=3ax2+2bx-18．（3分）
又由于f（x）在区间（-∞，-1）和（3，+∞）上是增函数，在区间（-1，3）上是减函数，
所以-1和3必是f′（x）=0的两个根．
从而
解得
3a−2b−18＝0 27a+6b−18＝0.
（5分）
a＝2 b＝−6.
又根据f（0）=-7，所以f（x）=2x3-6x2-18x-7（7分）
（2）f′（x）=3ax2+2bx+c由条件b2-3ac＜0可知a≠0，c≠0．（9分）
因为f'（x）为二次三项式，
并且△=（2b）2-4（3ac）=4（b2-3ac）＜0，
所以，当a＞0时，f'（x）＞0恒成立，此时函数f（x）是单调递增函数；
当a＜0时，f'（x）＜0恒成立，此时函数f（x）是单调递减函数．
因此，对任意给定的实数a，函数f（x）总是单调函数．（12分）