已知函数f（x）=log21+x/1−x． （1）求函数f（x）的定义域； （2）判断函数f（x）的奇偶性，并证明； （3）判断函数f（x）在定义域上的单调性，并用定义证明．
问题描述：
已知函数f（x）=log2
．1+x 1−x
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（3）判断函数f（x）在定义域上的单调性，并用定义证明．
答
（1）∵由
＞0，得（1+x）（1-x）＞0，解之得-1＜x＜1，1+x 1−x
∴f（x）的定义域是（-1，1）（3分）
（2）由（1）知x∈（-1，1），定义域关于原点对称
∵f（-x）=log2
=log21+(−x) 1−(−x)
1−x 1+x
而-f（x）=-log2
=log2(1+x 1−x
)−1=log21+x 1−x
．1−x 1+x
∴f（-x）=-f（x），可得函数f（x）是奇函数．（6分）
（3）设-1＜x1＜x2＜1，
f（x2）-f（x1）=log2
-log21+x2
1−x2
=log21+x1
1−x1
(1−x1)(1+x2) (1+x1)(1−x2)
∵1-x1＞1-x2＞0；1+x2＞1+x1＞0，
∴
＞1，结合底数2＞1得log2(1−x1)(1+x2) (1+x1)(1−x2)
＞0．(1−x1)(1+x2) (1+x1)(1−x2)
∴f（x2）-f（x1）＞0，得f（x1）＜f（x2）
因此，函数f（x）=log2
在（-1，1）上是增函数．1+x 1−x