如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中．求证： （1）B1D⊥平面A1C1B； （2）B1D与平面A1C1B的交点设为H，则点H是△A1C1B的重心．
问题描述：
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中．求证：
（1）B1D⊥平面A1C1B；
（2）B1D与平面A1C1B的交点设为H，则点H是△A1C1B的重心．
答
证明：（1）连B1D1，B1D1⊥A1C1，又DD1⊥面A1B1C1D1，
所以DD1⊥A1C1，A1C1⊥面D1DB1，因此A1C1⊥B1D．
同理可证B1D⊥A1B，所以B1D⊥平面A1C1B．（6分）
（2）连A1H，BH，C1H，由A1B1=BB1=C1B1，得A1H=BH=C1H，因此点H为△A1BC1的外心．
又△A1BC1为正三角形，所以H是△A1BC1的中心，
也是△A1BC1的重心．（12分）