如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中．求证：（1）B1D⊥平面A1C1B；（2）B1D与平面A1C1B的交点设为H，则点H是△A1C1B的重心．
问题描述：
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中．求证：
（1）B1D⊥平面A1C1B；
（2）B1D与平面A1C1B的交点设为H，则点H是△A1C1B的重心．
答
证明：（1）连B1D1，B1D1⊥A1C1，又DD1⊥面A1B1C1D1，
所以DD1⊥A1C1，A1C1⊥面D1DB1，因此A1C1⊥B1D．
同理可证B1D⊥A1B，所以B1D⊥平面A1C1B．（6分）
（2）连A1H，BH，C1H，由A1B1=BB1=C1B1，得A1H=BH=C1H，因此点H为△A1BC1的外心．
又△A1BC1为正三角形，所以H是△A1BC1的中心，
也是△A1BC1的重心．（12分）
答案解析：（1）连B1D1，要B1D⊥平面A1C1B，只需证明直线B1D垂直平面A1C1B内的，两条相交直线A1C1、A1B即可；
（2）B1D与平面A1C1B的交点设为H，连A1H，BH，C1H，由A1B1=BB1=C1B1，得A1H=BH=C1H，因此点H为△A1BC1的外心，类比推出，点H是△A1C1B的垂心．
考试点：直线与平面垂直的判定；三角形五心．
知识点：本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．