如图，已知△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是AB的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB、CA的延长线E、F． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若EF=8，EC=6，求⊙O的半径．
问题描述：
如图，已知△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是
的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB、CA的延长线E、F．AB
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若EF=8，EC=6，求⊙O的半径．
答
（1）证明：连接OD交于AB于点G．
∵D是
的中点，OD为半径，AB
∴AG=BG．（2分）
∵AO=OC，
∴OG是△ABC的中位线．
∴OG∥BC，
即OD∥CE．（2分）
又∵CE⊥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线．（1分）
（2）在Rt△CEF中，CE=6，EF=8，
∴CF=10．（1分）
设半径OC=OD=r，则OF=10-r，
∵OD∥CE，
∴△FOD∽△FCE，
∴
=FO FC
，（2分）OD CE
∴
=10-r 10
，r 6
∴r=
，15 4
即：⊙O的半径为
．（2分）15 4