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已知直线l：y=kx+2（k为常数）过椭圆x2a2+y2b2=1（（a>b>0）的上顶点B和左焦点F，直线l被圆x2+y2=4截得的弦长为d、（1）若d=23，求k的值；（2）若d≥4/55，求椭圆离心率e的取值范围．

分类: 作业答案 • 2021-12-03 17:11:16
问题描述：

已知直线l：y=kx+2（k为常数）过椭圆

x2
a2
+
y2
b2
=1（（a>b>0）的上顶点B和左焦点F，直线l被圆x2+y2=4截得的弦长为d、
（1）若d=2
3
，求k的值；
（2）若d≥
4
5
5
，求椭圆离心率e的取值范围．

答

（1）取弦的中点为M，连接OM由平面几何知识，OM=1，
OM=

2
k2+1
=1．
解得k2=3，k=±
3
．
∵直线过F、B，∴k>0，
则k=
3
．
（2）设弦的中点为M，连接OM，
则OM2=
4
1+k2
，
d2=4（4-
4
1+k2
）≥（
4
5
5
）2，
解得k2≥
1
4
．
e2=
c2
a2
=
(
2
k
)2
4+(
2
k
)2
=
1
1+k2
≤
4
5
，
∴0<e≤
2
5
5
．

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