设计建造一条道路,路基的横断面为梯形ABCD,如图(单位:米).设路基高为h,两侧的坡角分别为α和β,已知h=2,α=45°,tanβ=12,CD=10.(1)求路基底部AB的宽;(2)修筑这样的路基1000米,需要多少土石方?
问题描述:
设计建造一条道路,路基的横断面为梯形ABCD,如图(单位:米).设路基高为h,两侧的坡角分别为α和β,已知h=2,α=45°,tanβ=
,CD=10.1 2
(1)求路基底部AB的宽;
(2)修筑这样的路基1000米,需要多少土石方?
答
知识点:坡度、坡角问题通常要转换为解直角三角形的问题,必要时应添加辅助线,构造出直角三角形.
(1)过D作DE⊥AB于E,过C作CF⊥AB于F.
Rt△ADE中,∠α=45°,DE=h=2,
∴AE=DE=h=2.
Rt△BCF中,tanβ=
,CF=h=2,1 2
∴BF=2CF=4.
故AB=AE+EF+BF=AE+CD+BF=2+10+4=16.
(2)S梯形ABCD=
(AB+CD)•h=1 2
×(10+16)×2=26.1 2
因此所需的土石方数是:26×1000=26000(立方米).
答案解析:(1)分别过D、C作下底AB的垂线,设垂足为E、F.在Rt△ADE和Rt△BCF中,可根据h的长以及坡角的度数或坡比的值,求出AE、BF的长,进而可求得AB的值.
(2)根据(1)得出的梯形下底宽,可求出梯形的面积,进而可求出需要多少土石方.
考试点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题.
知识点:坡度、坡角问题通常要转换为解直角三角形的问题,必要时应添加辅助线,构造出直角三角形.