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求教一道关于矩阵的证明题.A是n阶矩阵,且A^k=0.求证：（E-A）^(-1) = E+A+A^2+...+A^(k-1)

分类: 作业答案 • 2021-12-18 16:30:41

问题描述：

求教一道关于矩阵的证明题.
A是n阶矩阵,且A^k=0.求证：（E-A）^(-1) = E+A+A^2+...+A^(k-1)

答

[E+A+A^2+...+A^(k-1)](E-A)
=E[E+A+A^2+...+A^(k-1)]-[E+A+A^2+...+A^(k-1)]A
=E+A+A^2+...+A^(k-1)-[A+A^2+...+A^(k-1)+A^k]
=E-A^k=E
所以E+A+A^2+...+A^(k-1)=(E-A)^(-1)

求教一道关于矩阵的证明题.A是n阶矩阵,且A^k=0.求证：（E-A）^(-1) = E+A+A^2+...+A^(k-1)

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