已知椭圆x^2/2+y^2=1的左右焦点分别为F1、F2,过点F1斜率为1的直线交椭圆于P、Q两点,求弦长|PQ|.
问题描述：
已知椭圆x^2/2+y^2=1的左右焦点分别为F1、F2,过点F1斜率为1的直线交椭圆于P、Q两点,求弦长|PQ|.
讲的稍微仔细些,对哩,弦长公式是什么?这个老师没说.
答
椭圆方程变为：x^2+2y^2-2=0,(1)
c=√（a^2-b^2)=1,
左焦点坐标F1（-1,0）,
PQ方程：y=x+1,
代入（1）式,
x^2+2(x+1)^2-2=0,
3x^2+4x=0,
根据韦达定理,
x1+x2=-4/3,
x1x2=0,
|PQ|=√[（1+k^2)(x1-x2)^2]=√(1+1^2)[(x1+x2)-4x1x2]
=√2*[(-4/3)^2-0]
∴|PQ|=4√2/3.
可以用经过焦点弦长公式,
|PQ|=(2b^2/a)/[1-e^2(cosθ)^2]
b=1,a=√2,e=√2/2,
cosθ=√2/2,
代入公式,
|PQ|=2/（√2）/[1-（1/2）*（1/2）]=√2/（1-1/4）=4√2/3.