如图,在△ABC中,∠BCA=90°,以BC为直径的⊙O交AB于点P,Q是AC的中点.判断直线PQ与⊙O的位置关系,并说明理由.

问题描述:

如图,在△ABC中,∠BCA=90°,以BC为直径的⊙O交AB于点P,Q是AC的中点.判断直线PQ与⊙O的位置关系,并说明理由.

直线PQ与⊙O的位置关系是:相切.
其理由如下:
①连接OP、CP.
∵BC是直径,
∴CP⊥AB,
在Rt△APC中,Q为斜边AC的中点;
∴PQ=CQ=

1
2
AC(直角三角形斜边中线等于斜边一半),
∴∠QPC=∠QCP;
又OP=OC,
∴∠OPC=∠OCP,
又∠BCA=90°,
∴∠OPQ=90°,
∴OP⊥PQ,又∵OP为半径,
∴直线PQ与⊙O相切于点P.
②用三角形全等或者角的和(差)也可证明.