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已知函数f(x)＝lnx+1/x+ax，x∈(0，+∞)（a为实常数）．（1）当a=0时，求函数f（x）的最小值；（2）若函数f（x）在[2，+∞）上是单调函数，求a的取值范围．

分类: 作业答案 • 2021-12-03 14:28:43

问题描述：

已知函数f(x)＝lnx+

1

x

+ax，x∈(0，+∞)（a为实常数）．
（1）当a=0时，求函数f（x）的最小值；
（2）若函数f（x）在[2，+∞）上是单调函数，求a的取值范围．

答

（1）a=0时，f′(x)＝

x−1

x2

…..（2分）
当0＜x＜1时f'（x）＜0，
当x＞1时f'（x）＞0，…..（5分）
∴f（x）_min=f（1）=1…．（7分）
（2）f′(x)＝

1

x

−

1

x2

+a＝

ax2+x−1

x2

当a≥0时，ax²+x-1在[2，+∞）上恒大于零，即f'（x）＞0，符合要求；…（10分）
当a＜0时，令g（x）=ax²+x-1，g （x）在[2，+∞）上只能恒小于零
故△=1+4a≤0或

1+4a＞0

g(2)≤0

−

1

2a

≤2

，解得：a≤−

1

4

∴a的取值范围是(−∞，−

1

4

]∪[0，+∞)…（14分）