已知：如图，直角△ABC中，∠ABC=90°，将△ABC绕着顶点C按顺时针方向旋转角度α（0＜α＜180°） 得到△A′B′C，连接AA′，BB′，射线 BB′交AC于点M，交AA′于点N （1）若AC=63，α=2∠BAC，求线
问题描述：
已知：如图，直角△ABC中，∠ABC=90°，将△ABC绕着顶点C按顺时针方向旋转角度α（0＜α＜180°） 得到△A′B′C，连接AA′，BB′，射线 BB′交AC于点M，交AA′于点N
（1）若AC=6
，α=2∠BAC，求线段BM的长
3
（2）求证：△AMN∽△BMC
（3）若3AN=4B′C，sin∠BAC=
，请你确定旋转角α的度数（精确到1°） 1 4
答
（1）∵CB=CB'，
∴∠CBB′＝∠CB′B＝
＝90−180−α 2
．α 2
∵∠BAC=
，∠ABC=90°，α 2
∴∠BCM=90°-
．α 2
∴∠CBB'=∠BCM．
∴BM=CM．
又∵∠BAC=∠ABM，
∴AM=BM．（2分）
∴BM是Rt△ABC斜边上的中线，
∴BM=
AC＝31 2
．（3分）
3
（2）∵CB=CB'，
∴∠CBB′＝∠CB′B＝
＝90−180−α 2
．α 2
同理∠CAA′＝90−
，α 2
∴∠CAA'=∠CBB'．（5分）
又∠AMN=∠BMC，
∴△AMN∽△BMC．（6分）（3）∵△AMN∽△BMC．
∴
＝AM BM
＝AN BC
＝AN B′C
．（7分）4 3
过点M画MH⊥AB于H，
∵sin∠BAC＝
，1 4
∴MH＝
AM．1 4
在Rt△BHM中，sin∠MBH＝
AM÷1 4
AM＝3 4
．（8分）1 3
∴∠ABM=19.5°．
∴∠CBB'=∠CB'B=90°-19.5°=70.5°，
∴α=180°-70.5×2=39°．（10分）