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已知函数f（x）=log3mx2+8x+nx2+1的定义域为R，值域为[0，2]，求m．n的值．

分类: 作业答案 • 2021-12-03 13:54:48
问题描述：

已知函数f（x）=log3

mx2+8x+n
x2+1
的定义域为R，值域为[0，2]，求m．n的值．

答

由于f（x）=log3

mx2+8x+n
x2+1
的定义域为R，∵x2+1＞0，故mx2+8x+n＞0恒成立．
令y=
mx2+8x+n
x2+1
，由于函数f（x）的值域为[0，2]，则 1≤y≤9，且（y-m）•x2-8x+y-n=0 成立．
由于x∈R，①若y-m≠0，∴方程的判别式△=64-4（y-m）（y-n）≥0，即 y2-（m+n）y+mn-16≤0．
∴y=1和y=9是方程 y2-（m+n）y+mn-16=0的两个根，
∴m+n=10，mn-16=9，解得m=n=5．
②若y-m=0，即y=m=n=5 时，对应的x=0，符合条件．
综上可得，m=n=5．

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