有关于高一数学必修一函数中定义域概念的理解（非诚勿扰!）

有关于高一数学必修一函数中定义域概念的理解（非诚勿扰!）
用具体题目可能会比较好的表达我的疑问.请务必仔细看完后再回答.
已知f(x+1)的定义域为[-2,3],求f(2x-1)的定义域.
课本上说在f(x)中,x叫做自变量,x的取值范围叫函数的定义域.
那么在此题的f(2x-1)中,自变量是x还是2x-1?如果自变量是x,那么2x-1应该叫什么?另外问与题目较无关的问题,f(2x-1)是将2x-1代入f的对应关系的意思吗?f(2x-1)可以代表一个数值而不是一种对应关系吗?
第二个疑问,老师的解答中有这样的步骤：
∵ -2≤x≤3
∴ -1≤x+1≤4
∴ -1≤2x-1≤4
想请问后两步这么推导的原因,题目的意思是说f(x+1)与f(2x-1)相等?
⑴如果是,那两个函数的定义域相同,在此前提下,
①如果二者的定义域分别指两个函数中的「x」,那么题目中的[-2,3]就已经是两个函数共同的定义域了；
②如果两个函数中的x+1与2x-1的取值范围相同,而且两个函数又相等,也就是说x+1与2x-1分别是两个函数的定义域?
⑵如果二者不相等,题目的意思应该是两个函数中的x+1与2x-1的取值范围相同,为什么可以得到「两个函数中的x+1与2x-1的取值范围相同」这样的结论?或者说是题目这么出就隐含了这层意思?
我的数学算较不错的,不过这里有些转不过弯,有些知其然不知其所以然的感觉.上述表述可能有点啰嗦,不过这正是我纠结之处.理解不了我的提问请提出来,但希望大家一定要认真看完再来回答,请务必仔细解答清楚,