高一数学题—函数的有关概念.已知定义域为R的函数f(x)满足f[f(x)-x²+x]=f(x)-x²+x.（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)= x0,求函数f(x)的解析表达式.解（Ⅱ）因为对任意xεR,有f[f(x)-x²+x]=f(x)-x²+x.又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)= x0.所以对任意x∈R,有f(x)- x² +x= x0.在上式中令x= x0,有f(x0)-x0²+ x0= x0,又因为f(x0)- x0,所以x0- x0²=0,故x0=0或x0=1.若x0=0,则f(x)-x² +x=0,即 f(x)= x²-x.但方程x² –x=x有两个不同实根,与题设条件矛质,故x2≠0.若x0=1,则有f(x)- x²+x=1,即f(x)= x^2 –x+1.易验证该函数满足题设条件.综上,所求函数为 f(x)= x²–x+1（x∈R）.请问为什么“又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)= x0.” 就有“所以对任意x∈R,有f(x)- x² +x= x0.”
高一数学题—函数的有关概念.
已知定义域为R的函数f(x)满足f[f(x)-x²+x]=f(x)-x²+x.
（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)= x0,求函数f(x)的解析表达式.
解（Ⅱ）因为对任意xεR,有f[f(x)-x²+x]=f(x)-x²+x.
又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)= x0.
所以对任意x∈R,有f(x)- x² +x= x0.
在上式中令x= x0,有f(x0)-x0²+ x0= x0,
又因为f(x0)- x0,所以x0- x0²=0,故x0=0或x0=1.
若x0=0,则f(x)-x² +x=0,即
f(x)= x²-x.
但方程x² –x=x有两个不同实根,与题设条件矛质,故x2≠0.
若x0=1,则有f(x)- x²+x=1,即f(x)= x^2 –x+1.易验证该函数满足题设条件.
综上,所求函数为
f(x)= x²–x+1（x∈R）.
请问为什么“又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)= x0.”
就有“所以对任意x∈R,有f(x)- x² +x= x0.”
如何理解.请详细说明.
可以令f(x)- x² +x=m，则由“已知定义域为R的函数f(x)满足f[f(x)-x²+x]=f(x)-x²+x. ” 那么得到f(m)=m.
又因为有且仅有一个实数x0,使得f(x0)= x0；可以理解成有且仅有一个m使得f(m)=m。即对于任意x都应有f(x)- x² +x = m = 那个定实数x0
f(x)-x²+x 这个式子从理论上讲应该是个变数
那么由于f[f(x)-x²+x]=f(x)-x²+x
就有f(变数)=变数
而原题说有且只有一个数x0,使得f(x0)= x0
所以说f(x)-x²+x并不是一个变数,它只能是那个特殊的x0
所以“对任意x∈R,有f(x)- x² +x= x0.”