如图,AB是⊙O的直径,弦DE垂直平分半径OA,C为垂足,弦DF与半径OB相交于点P,DE=23,∠DPA=45°,求OP的长.

问题描述:

如图,AB是⊙O的直径,弦DE垂直平分半径OA,C为垂足,弦DF与半径OB相交于点P,DE=2

3
,∠DPA=45°,求OP的长.

连接OD,
设⊙O的半径为R,
∵弦DE垂直平分半径OA,
∴OC=AC=

1
2
R,
∵DE⊥AB,AB为直径,
∴DC=CE=
1
2
DE=
1
2
×2
3
=
3

在Rt△DCO中,由勾股定理得:OD2=DC2+OC2
R2=(
1
2
R)2+(
3
2
解得:R=2,
∴OC=
1
2
R=1,
∵DE⊥AB,
∴∠DCF=90°,
∵∠DPA=45°,
∴∠CDP=45°=∠DPA,
∴CP=DC=
3

∴OP=CP-OC=
3
-1.