如图,AB是⊙O的直径,弦DE垂直平分半径OA,C为垂足,弦DF与半径OB相交于点P,DE=23,∠DPA=45°,求OP的长.
问题描述:
如图,AB是⊙O的直径,弦DE垂直平分半径OA,C为垂足,弦DF与半径OB相交于点P,DE=2
,∠DPA=45°,求OP的长.
3
答
连接OD,
设⊙O的半径为R,
∵弦DE垂直平分半径OA,
∴OC=AC=
R,1 2
∵DE⊥AB,AB为直径,
∴DC=CE=
DE=1 2
×21 2
=
3
,
3
在Rt△DCO中,由勾股定理得:OD2=DC2+OC2,
R2=(
R)2+(1 2
)2,
3
解得:R=2,
∴OC=
R=1,1 2
∵DE⊥AB,
∴∠DCF=90°,
∵∠DPA=45°,
∴∠CDP=45°=∠DPA,
∴CP=DC=
,
3
∴OP=CP-OC=
-1.
3