设A是秩为r的n阶实对称矩阵,满足A^4-3A^3+3A^2-2A=0,则A的n个特征值?如题
问题描述：
设A是秩为r的n阶实对称矩阵,满足A^4-3A^3+3A^2-2A=0,则A的n个特征值?
如题
答
设p是A的任一特征值,a是A属于p的特征向量,于是有 (A^4-3A^3+3A^2-2A)a=(p^4-3p^3+3p^2-2p)a=0,即 p(p-2)(p^2-p+1)=0 因为实对称矩阵特征值必为实数,所以A的特征值只能是0或2,又因为必可对角化,故特征值为 2(2重),0(n-r重)