设a，b∈R且a≠2，定义在区间（-b，b）内的函数f（x）=lg1+ax1+2x是奇函数．（1）求实数b的取值范围；（2）判断函数f（x）在区间（-b，b）上的单调性，并加以证明．
问题描述：
设a，b∈R且a≠2，定义在区间（-b，b）内的函数f（x）=lg
是奇函数．1+ax
1+2x
（1）求实数b的取值范围；
（2）判断函数f（x）在区间（-b，b）上的单调性，并加以证明．
答
（1）依题意知：当x∈（-b，b）时，f（-x）=-f（x）恒成立，
即 lg
=-lg1-ax 1-2x
恒成立，1+ax 1+2x
而lg
=-lg1-ax 1-2x
⇔1+ax 1+2x
=1-ax 1-2x
⇔a2x2=4x2⇒a2=4⇒a=-2(2舍去)1+2x 1+ax
＞01-ax 1-2x
再由
＞0，解得 -1+2x 1-2x
＜x＜1 2
．1 2
依题意知：(-b，b)⊆(-
，1 2
)，1 2
∴0＜b≤
即b∈(0，1 2
]．1 2
（2）函数f（x）在区间（-b，b）上单调递减．
由（1）知，f(x)=lg
， x∈(-b，b)，1-2x 1+2x
∀x1，x2∈（-b，b），且-
≤-b＜x1＜x2＜b≤1 2
，则0＜1-2x2＜1-2x1，0＜1+2x1＜1+2x21 2
从而 f(x2)-f(x1)=lg
-lg1-2x2
1+2x2
=lg1-2x1
1+2x1
＜lg1=0，）(1-2x2)(1+2x1) (1+2x2)(1-2x1)
∴f（x1）＞f（x2），故函数f（x）在区间（-b，b）上单调递减．