已知函数f(x)＝lg(x+a/x−2)，其中a是大于0的常数 （1）求函数f（x）的定义域； （2）当a∈（1，4）时，求函数f（x）在[2，+∞）上的最小值； （3）若对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，试确定a
问题描述：
已知函数f(x)＝lg(x+
−2)，其中a是大于0的常数a x
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）当a∈（1，4）时，求函数f（x）在[2，+∞）上的最小值；
（3）若对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，试确定a的取值范围．
答
（1）由x+
−2＞0得，a x
＞0
x2−2x+a x
解得a＞1时，定义域为（0，+∞）
a=1时，定义域为{x|x＞0且x≠1}，
0＜a＜1时，定义域为{x|0＜x＜1−
或x＞1+
1−a
}
1−a
（2）设g(x)＝x+
−2，当a∈（1，4），x∈[2，+∞）时，a x
g′(x)＝1−
＝a x2
＞0恒成立，
x2−a x2
∴g(x)＝x+
−2在[2，+∞）上是增函数，a x
∴f(x)＝lg(x+
−2)在[2，+∞）上是增函数，a x
∴f(x)＝lg(x+
−2)在[2，+∞）上的最小值为f(2)＝lga x
；a 2
（3）对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，
即x+
−2＞1对x∈[2，+∞）恒成立a x
∴a＞3x-x2，而h(x)＝3x−x2＝−(x−
)2+3 2
在x∈[2，+∞）上是减函数，9 4
∴h（x）max=h（2）=2，∴a＞2