设α为n阶对称矩阵A的对应于特征值λ的特征向量,求矩阵((P^-1)AP)^T对应于特征值λ的特征向量
问题描述：
设α为n阶对称矩阵A的对应于特征值λ的特征向量,求矩阵((P^-1)AP)^T对应于特征值λ的特征向量
答
若T不等于1，那么令n=1，P=I，则A={λ}，可以看出((P^-1)AP)^T无关于λ的特征向量，只有λ^T为特征值
（题意知P可逆），且T=1，易得a=Pb时，APb=Aa=λa=λPb，(P^-1)APb= (P^-1)λPb=λb
则所求向量为b=(P^-1)a
T=t时，( (P^-1)AP )^T=(P^-1)AP(P^-1)AP(P^-1)AP(P^-1)AP……=(P^-1) A^T P。a=Pb时，（P^-1) A^T Pb=（P^-1) A^T a=（P^-1) λ^T a=λ^T（P^-1)Pb=λ^Tb
所以综上所述，设α为n阶对称矩阵A的对应于特征值λ的特征向量,求矩阵((P^-1)AP)^T对应于特征值λ^T的特征向量为b=(P^-1)a
答
为书写简便,将P转置记作Q
令β=Qα
((P^-1)AP)^T=QA(Q^-1)
((P^-1)AP)^T β=QA(Q^-1)Qα=QAα=λQα=λβ
所以它的对应于特征值为λ的特征向量为β,即(P^T)α