高一数学抽象函数的习题已知f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且f(x/y)=f(x)-f(y)(1)求f(1)的值(2)若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f(1/x)<2

问题描述:

高一数学抽象函数的习题
已知f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且f(x/y)=f(x)-f(y)
(1)求f(1)的值
(2)若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f(1/x)<2

(1)设x=y,则f(1)=0
(2)有题意可知
f(1/x)=f(1)-f(x),代入原不等式得
f(x+3)+f(x)又因f(x)在(0,+∞)上为增函数,故
(x+3)/6解得0

f(x/y)=f(x)-f(y)
f(1)=f(1/1)=f(1)-f(1)=0
f(6)=1
f(x+3)-f(1/x)f((x+3)/(1/x))f(x(x+3))f(x(x+3))f(x(x+3))-f(6)f(x(x+3)/6)x(x+3)/6x^2+3x-36(-3-3根号17)/2因为 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数
所以不等式的解为
0

(1)令x=2 y=1得f(2)=f(2)-f(1)
则f(1)=0
(2)因为f(x)在定义(0,+∞)是增函数
所以f(x-3)-2因为f(6)=1所以2=2f(6)
所以f(x-3)-f(6)-f(6)=f((x-3)/6)-f(6)=f((x-3)/36)因为f(x)在定义(0,+∞)是增函数
所以f(6)=1
f(x+3)-f(1/x)f((x+3)/(1/x))f(x(x+3))f(x(x+3))f(x(x+3))-f(6)f(x(x+3)/6)x(x+3)/6x^2+3x-36(-3-3根号17)/2因为 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数
所以不等式的解为
0

答案是-3到9不包括-3和9

由定义域知x>0
f(x/y)=f(x)-f(y),
令y=1得f(x)=f(x)-f(1),
又f(x)在(0,+∞)上的增函数,则f(1)=0
又f(1/x)=f(1)-f(x)=-f(x)
原不等式f(x+3)-f(1/x)f(x+3)+f(x)再化为f(x+3)-1即f(x+3)-f(6)即f(x+3/6)<f(6/x)
则0<(x+3)/6<6/x
解得0<x<(3根号17 -3)/2