不等式的证明1.若a,b,c,d,m,n都是正数,P=根号(ab)+根号(cd),Q=根号(ma+nc)·根号(b/m+d/n),则( )A.P≥QB.P≤QC.P>QD.P,Q大小不确定2.若a>0,b>0,则下列不等式中成立的是( )A.a+b+(1/根号ab)≥2根号2B.(a+b)(1/a+1/b)≥4C.(a^2+b^2)/根号(ab)≥a+bD.2ab/(a+b)≥根号(ab)

问题描述:

不等式的证明
1.若a,b,c,d,m,n都是正数,P=根号(ab)+根号(cd),Q=根号(ma+nc)·根号(b/m+d/n),则( )
A.P≥Q
B.P≤Q
C.P>Q
D.P,Q大小不确定
2.若a>0,b>0,则下列不等式中成立的是( )
A.a+b+(1/根号ab)≥2根号2
B.(a+b)(1/a+1/b)≥4
C.(a^2+b^2)/根号(ab)≥a+b
D.2ab/(a+b)≥根号(ab)

B B
1.Q≥P
P^2=ab+cd+2√abcd
Q^2=(ma+nc)(b/m+d/n)=ab+cd+(nbc/m)+(mad/n)
因为(nbc/m)+(mad/n)≥2√[(nbc/m)(mad/n)]=2√abcd
当(nbc/m)=(mad/n)即n√bc=m√ad时取“=”号
所以Q^2≥P^2 又Q>0,P>0
所以Q≥P 且当n√bc=m√ad时取“=”号
2.(a+b)(1/a+1/b)
乘进去得a×1/a+a×1/b+b×1/a+b×1/b=1+a/b+1+b/a≥2+2√(a/b×b/a)=4
注:两题都用到了重要不等式:若a>0,b>0,则a+b≥2√ab

1.B 2.B
(以下的sqr代表根号)
1.P^2=ab+cd+2sqr(abcd).
Q^2=(ma+nc)(b/m+a/n)=ab+cd+bcn/m+adm/n.因为a,b,c,d,m,n都是正数,所以根据均值不等式,有bcn/m+adm/n>=2sqr(abcd).所以Q^2>=P^2.有P、Q都是正数得P0,b>0,所以由均值不等式,得:a/b+b/a>=2sqr[(a/b)(b/a)]=2sqr(1)=2.
所以,(a+b)(1/a+1/b)>=2+2=4.
其他三个选项均可验证,不正确.