如图,CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线,且∠ACB=∠ABC.求证:CD=2CE.

问题描述:

如图,CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线,且∠ACB=∠ABC.求证:CD=2CE.

证明:过B作BF∥AC交CE的延长线于F,
∵CE是中线,BF∥AC,
∴AE=BE,∠A=∠ABF,∠ACE=∠F,
在△ACE和△BFE中,

∠A=∠ABF
∠ACE=∠F
AE=BE

∴△ACE≌△BFE(AAS),
∴CE=EF,AC=BF,
∴CF=2CE,
又∵∠ACB=∠ABC,CB是△ADC的中线,
∴AC=AB=BD=BF,
∵∠DBC=∠A+∠ACB=∠ABF+∠ABC,
∴∠DBC=∠FBC,
在△DBC和△FBC中,
DB=FB
∠DBC=∠FBC
BC=BC

∴△DBC≌△FBC(SAS),
∴DC=CF=2CE.