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先解答（1），再通过结构类比解答（2）：（1）求证：tan（x+π4）=1+tanx/1−tanx；（2）设x∈R，a为非零常数，且f（x+a）=1+f(x)1−f(x)，试问：f（x）是周期函数吗？证明你的结论．

分类: 作业答案 • 2021-11-12 22:35:48

问题描述：

先解答（1），再通过结构类比解答（2）：
（1）求证：tan（x+

π

4

）=

1+tanx

1−tanx

；
（2）设x∈R，a为非零常数，且f（x+a）=

1+f(x)

1−f(x)

，试问：f（x）是周期函数吗？证明你的结论．

答

（1）证明：tan(x+

π

4

)＝

tanx+tan

π

4

1−tanx•tan

π

4

＝

1+tanx

1−tanx

． …（6分）
（2）猜想f（x）是以4a为周期的周期函数．
证明：因为f(x+2a)＝f[(x+a)+a]＝

1+f(x+a)

1−f(x+a)

＝

1+

1+f(x)

1−f(x)

1−

1+f(x)

1−f(x)

＝−

1

f(x)

，
所以f(x+4a)＝f[(x+2a)+2a]＝−

1

f(x+2a)

＝f(x)，
所以f（x）是以4a为周期的周期函数． …（14分）