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设命题p：c2＜c和命题q：对∀x∈R，x2+4cx+1＞0，若p和q有且仅有一个成立，则实数c的取值范围是 ______．

分类: 作业答案 • 2021-12-19 17:41:49

问题描述：

设命题p：c²＜c和命题q：对∀x∈R，x²+4cx+1＞0，若p和q有且仅有一个成立，则实数c的取值范围是 ______．

答

若p真则有0＜c＜1
若q真则有△=16c²-4＜0得−

1

2

＜c＜

1

2

∵p和q有且仅有一个成立
∴当p真q假时有

0＜c＜1

c≥

1

2

或c≤−

1

2

∴

1

2

≤c＜1
当p假q真有

c≥1或c≤0

−

1

2

＜c＜

1

2

∴−

1

2

＜c≤0
故答案为：(−

1

2

，0]∪[

1

2

，1)
答案解析：通过解二次不等式求出p真的c的范围，通过解二次不等式恒成立求出q真时c的范围；再分类讨论求出c的范围．
考试点：交、并、补集的混合运算．
知识点：本题考查二次不等式的解法、二次不等式恒成立的解法、分类讨论的数学思想方法．