设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,有f(1)=0.证明:至少存在一点ε使得εf '(ε)+f(ε)=0
问题描述：
设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,有f(1)=0.证明:至少存在一点ε使得εf '(ε)+f(ε)=0
答
证明：考察函数F(x) = x f(x)
显然,F(0)=0,F(1)=0.
那么,根据罗尔定理,必存在一点ε∈(0,1),使得F'(ε)=0.
而F'(ε)=εf '(ε)+f(ε),即得所要结论.