高数微分方程问题求满足下列条件的特解y'=y/x+sin(y/x),y|(x=1)=π/2答案是：y=2xarctanx,求过程
问题描述：
高数微分方程问题
求满足下列条件的特解
y'=y/x+sin(y/x),y|(x=1)=π/2
答案是：y=2xarctanx,求过程
答
y=e^x y'=e^x y''=e^x
y''+p(x)y'+q(x)y=e^x(1+p(x)+q(x))≡0
∴y=e^x是所给微分方程的一个特解。
y=x y'=1 y''=0
y''+p(x)y'+q(x)y=p(x)+xq(x)≡0
∴y=x是所给微分方程的一个特解。
通解为：y=C1e^x+C2x
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答
方程是齐次方程,令u=y/x,则y=ux,dy/dx=u+xdu/dx,方程化为：u+xdu/dx=u+sinu,xdu/dx=sinu,分离变量cscudu=dx/x,两边积分,lntan(u/2)=lnc+lnC,所以tan(u/2)=Cx,所以原方程的通解是tan(y/(2x))=Cx,或者y=2xarctan(Cx)....