求曲线r=3cosx,r=1+cosx所围平面图形公共部分的面积
问题描述：
求曲线r=3cosx,r=1+cosx所围平面图形公共部分的面积
答
你这个有点难表示,因为cosx是周期函数
需要指明求哪个区间的面积,不然会重复出现很多个同样的面积.面积不就是无限大吗?
那莪只做- π 到 2π的部分了
解3cosx = 1 + cosx
x = - π/3,π/3,5π/3
在x∈[- π/3,π/3]围成的面积,3cosx > 1 + cosx
= ∫(- π/3→π/3) [3cosx - (1 + cosx)] dx
= 2√3 - 2π/3
在x∈[π/3,5π/3]围成的面积,1 + cosx > 3cosx
= ∫(π/3→5π/3) [(1 + cosx) - 3cosx] dx
= 2√3 + 4π/3
所以公共部分的面积
= n * [(2√3 - 2π/3) + (2√3 + 4π/3)],n∈整数
= n * (4√3 + 2π/3),只好这样表示了,共有n个这样的面积
书上答案为什么会是这样的呢？
原来是极坐标的形式，开始真没看清楚了。。。{ r = 3cosθ{ r = 1 + cosθ3cosθ = 1 + cosθcosθ = 1/2θ = π/3 或 2π - π/3 = 5π/3交点为(3/2，π/3)和(3/2，5π/3)∴阴影面积= 2[∫(0→π/3) (1/2)(3cosθ)² dθ + ∫(π/3→π/2) (1/2)(1 + cosθ)² dθ]= (9/2)∫(0→π/3) (1 + cos2θ) dθ + ∫(π/3→π/2) (1 + 2cosθ + cos²θ) dθ= (9/2)[θ + sinθcosθ] |(0→π/3) + [θ + 2sinθ + (1/2)(θ + sinθcosθ)] |(π/3→π/2)= (9/2)[π/3 + (√3/2)(1/2)] + [π/2 + 2 + (1/2)(π/2)] - [π/3 + √3 + (1/2)(π/3 + (√3/2)(1/2))]= 2 + 7π/4