已知函数f(x)＝ax+b1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(12)＝25．（1）试求出函数f（x）的解析式；（2）证明函数在定义域内是单调增函数．
问题描述：
已知函数f(x)＝
是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(ax+b 1+x2
)＝1 2
．2 5
（1）试求出函数f（x）的解析式；
（2）证明函数在定义域内是单调增函数．
答
（1）∵函数f(x)＝
是定义在（-1，1）上的奇函数，ax+b 1+x2
∴f（0）=0，即b=0
又∵f(
)＝1 2
，∴2 5
=
a 2 1+
1 4
，解得a=12 5
∴f(x)＝
．x 1+x2
（2）任取任取两个数x1，x2∈（-1，1），且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=
-x1 1+x12
=x2 1+x22
＜0
(x1−x2)(1−x1•x2) (1+x12)(1+x22)
因为x1，x2∈（-1，1），且x1＜x2，
∴x1-x2＜0，1+x12＞0，1+x22＞0，1-x1•x2＞0
则f（x1）＜f（x2）
故函数f(x)＝
在（-1，1）上单调递增ax+b 1+x2
答案解析：（1）根据函数f(x)＝
是定义在（-1，1）上的奇函数，可得f（0）=0，结合f(ax+b 1+x2
)＝1 2
，可求出a，b值，进而得到函数f（x）的解析式；2 5
（2）直接利用函数单调性的定义进行证明，设在（-1，1）上任取两个数x1，x2，且x1＞x2，然后判定f（x1）-f（x2）的符号，从而得到结论．
考试点：函数单调性的判断与证明；函数的定义域及其求法；函数解析式的求解及常用方法．
知识点：本题主要考查了函数奇偶性的性质，函数单调性的证明，解题的关键是化简判定符号，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．