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下列两题选做一题． （甲）已知椭圆短轴长为2，中心与抛物线y2=4x的顶点重合，椭圆的一个焦点恰是此抛物线的焦点，求椭圆方程及其长轴的长． （乙）已知菱形的一对内角各为60°，边长

分类: 作业答案 • 2021-11-29 10:50:03
问题描述：

下列两题选做一题．
（甲）已知椭圆短轴长为2，中心与抛物线y2=4x的顶点重合，椭圆的一个焦点恰是此抛物线的焦点，求椭圆方程及其长轴的长．
（乙）已知菱形的一对内角各为60°，边长为4，以菱形对角线所在的直线为坐标轴建立直角坐标系，以菱形60°角的两个顶点为焦点，并且过菱形的另外两个顶点作椭圆，求椭圆方程．

答

（甲）设所求之椭圆方程为

x2
a2
+
y2
b2
＝1
∵2b=2，∴b=1．
由抛物线方程y2=4x可知它的焦点而（1，0），
所以点（1，0）也是椭圆的一个焦点，
于是c=1，从而a2＝b2+c2＝2，a＝
2
，
故所求之椭圆方程为
x2
2
+y2＝1，长轴的长为2
2
．
（乙）设以菱形内角为600的一对顶点为端点的对角线所在的直线为X轴，
建立直角坐标系．
设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
＝1．
由图及已知条件可得
b=BO=BC•sin30°=2a=BC=4．
故所求之椭圆方程为
x2
16
+
y2
4
＝1．

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