下列两题选做一题.(甲)已知椭圆短轴长为2,中心与抛物线y2=4x的顶点重合,椭圆的一个焦点恰是此抛物线的焦点,求椭圆方程及其长轴的长.(乙)已知菱形的一对内角各为60°,边长为4,以菱形对角线所在的直线为坐标轴建立直角坐标系,以菱形60°角的两个顶点为焦点,并且过菱形的另外两个顶点作椭圆,求椭圆方程.

问题描述:

下列两题选做一题.
(甲)已知椭圆短轴长为2,中心与抛物线y2=4x的顶点重合,椭圆的一个焦点恰是此抛物线的焦点,求椭圆方程及其长轴的长.
(乙)已知菱形的一对内角各为60°,边长为4,以菱形对角线所在的直线为坐标轴建立直角坐标系,以菱形60°角的两个顶点为焦点,并且过菱形的另外两个顶点作椭圆,求椭圆方程.

(甲)设所求之椭圆方程为

x2
a2
+
y2
b2
=1
∵2b=2,∴b=1.
由抛物线方程y2=4x可知它的焦点而(1,0),
所以点(1,0)也是椭圆的一个焦点,
于是c=1,从而a2b2+c2=2,a=
2

故所求之椭圆方程为
x2
2
+y2=1
,长轴的长为2
2

(乙)设以菱形内角为600的一对顶点为端点的对角线所在的直线为X轴,
建立直角坐标系.
设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1

由图及已知条件可得
b=BO=BC•sin30°=2a=BC=4.
故所求之椭圆方程为
x2
16
+
y2
4
=1

答案解析:(甲)根据椭圆的一个焦点恰是此抛物线的焦点,可求出椭圆的焦点坐标,和判断椭圆标准方程的形式,及c的值,根据a2=b2+c2,即可求得椭圆方程及其长轴的长;
(乙)由椭圆的焦点是菱形60°角的两个顶点,根据椭圆的定义可知2a=8,由图及已知条件可得b=BO=BC•sin30°=2a=BC=4,即可求出椭圆方程.
考试点:椭圆的标准方程;椭圆的简单性质;圆锥曲线的综合.
知识点:此题是个基础题.考查椭圆的定义和标准方程即简单的几何性质,应用了待定系数法求椭圆方程,体现了数形结合的思想方法.