已知二次方程(m-2)x^2+3mx+1=0的两个根分别属于(-1,0)和(0,2),求m取值范围.

问题描述:

已知二次方程(m-2)x^2+3mx+1=0的两个根分别属于(-1,0)和(0,2),求m取值范围.

设f(x)=(m-2)x2+3mx+1,则f(x)=0的两个根分别属于(-1,0)和(1,2).
所以f(-1)f(0)<0
f(2)f(0)<0,
即 (-2m-1)x1<0
(10m-7)x1<0,
∴ -1/2<m<7/10

根据韦达定理:
x1+x2=-3m/(m-2)
x1x2=1/(m-2)
x1和x2分别属于(-1,0)和(0,2)
那么:
-1-2所以
1/(m-2)m-2m1/(m-2)>-2
-2(m-2)>1
m-2m所以m-1-2m-2m>-1
m-1综合起来:
-1

令f(x)=(m-2)x^2+3mx+1
连续函数的一个零点在区间内,则区间端点异号
f(-1)f(0)=(-2m-1)-1/2
f(0)f(2)=1m-7