如图,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,OP的坐标为______.

问题描述:

如图,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,

OP
的坐标为______.

设滚动后的圆的圆心为O',切点为A(2,0),连接O'P,
过O'作与x轴正方向平行的射线,交圆O'于B(3,1),设∠BO'P=θ
∵⊙O'的方程为(x-2)2+(y-1)2=1,
∴根据圆的参数方程,得P的坐标为(2+cosθ,1+sinθ),
∵单位圆的圆心的初始位置在(0,1),圆滚动到圆心位于(2,1)
∴∠AO'P=2,可得θ=

2
-2
可得cosθ=cos(
2
-2)=-sin2,sinθ=sin(
2
-2)=-cos2,
代入上面所得的式子,得到P的坐标为(2-sin2,1-cos2)
OP
的坐标为(2-sin2,1-cos2).
故答案为:(2-sin2,1-cos2)
答案解析:设滚动后圆的圆心为O',切点为A,连接O'P.过O'作与x轴正方向平行的射线,交圆O'于B(3,1),设∠BO'P=θ,则根据圆的参数方程,得P的坐标为(2+cosθ,1+sinθ),再根据圆的圆心从(0,1)滚动到(2,1),算出θ=
2
-2,结合三角函数的诱导公式,化简可得P的坐标为(2-sin2,1-cos2),即为向量
OP
的坐标.
考试点:圆的参数方程;平面向量坐标表示的应用.

知识点:本题根据半径为1的圆的滚动,求一个向量的坐标,着重考查了圆的参数方程和平面向量的坐标表示的应用等知识点,属于中档题.