如图,在平面直角坐标系中,平行四边形OABC,OC在X轴上,OA=4,角AOC=60度,点P在X轴上,点P从原点出发以每秒1米的速度沿X轴的正方向匀速运动,设运动时间为T,以OP为一边在第一象限内作等边三角形OPD,当T=12时,直线PD恰好经过B点(1)求直线OA的解析式(2)求点C的坐标(3)以PC为直径在第一象限内作半圆,过PD的中点R作半圆的切线,是否存在T的值使切线与X轴的夹角为30度,若存在求出T的值,若不存在,请说明理由

问题描述:

如图,在平面直角坐标系中,平行四边形OABC,OC在X轴上,OA=4,角AOC=60度,点P在X轴上,点P从原点出发以每秒1米的速度沿X轴的正方向匀速运动,设运动时间为T,以OP为一边在第一象限内作等边三角形OPD,当T=12时,直线PD恰好经过B点(1)求直线OA的解析式(2)求点C的坐标(3)以PC为直径在第一象限内作半圆,过PD的中点R作半圆的切线,是否存在T的值使切线与X轴的夹角为30度,若存在求出T的值,若不存在,请说明理由

(1)过点C作CD⊥OA于D,过点B作BE⊥OA于E,连接OB,
∵∠AOC=60°,0C=4cm,
∴OD=0C•cos60°=4×
1
2
=2(cm),CD=OC•sin60°=4×
3
2
=2
3
(cm),
∴C(2,2
3
),
∵四边形OABC是平行四边形,
∴AB=OC=4cm,BC∥OA,
∴BE=CD=2
3
cm,
∴AE=
AB2-BE2
=2(cm),
∵OA=8cm,
∴OE=OA+AE=10(cm),
∴OB=
OE2+BE2
=4
7
cm.…(4分)
(2)①当0<t≤4时,
过点Q作QD⊥x轴于点D(如图1),则QD=
3
2
t.
∴S=
1
2
OP•QD=
3
4
t2.…(5分)
②当4≤t≤8时,
作QE⊥x轴于点E(如图2),则QE=2
3

∴S=
1
2
OP•QE=
3
t. …(6分)
③当8≤t<12时,
解法一:延长QP交x轴于点F,过点P作PH⊥AF于点H(如图3).
∴△PBQ与△PAF均为等边三角形,
∴OF=OA+AP=t,AP=t-8.
∴PH=
3
2
(t-8).…(7分)
∴S=S△OQF-S△OPF
=
1
2
t•2
3
-
1
2
t•
3
2
(t-8)
=-
3
4
t2+3
3
t. …(8分)
当t=8时,S最大. …(9分)
解法二:过点P作PH⊥x轴于点H(如图3).
∴△PBQ为等边三角形.
∵AP=t-8.
∴PH=
3
2
(t-8). …(7分)
∴S=S梯形OABQ-S△PBQ-S△OAP=
3
(20-t)-
3
4
(12-t)2-2
3
(t-8).
=-
3
4
t2+3
3
t. …(8分)
当t=8时,S最大. …(9分)
(3)①当△OPM∽△OAB时(如图4),则PQ∥AB.
∴CQ=OP.
∴at-4=t,a=1+
4
t
.…(10分)
t的取值范围是0<t≤8. …(11分)
②当△OPM∽△OBA时(如图5),

OP
OB
=
OM
OA


t
47
=
OM
8

∴OM=
27
7
t. …(12分)
又∵QB∥OP,
∴△BQM∽△OPM,

QB
OP
=
BM
OM


12-at
t
=
47-277t
277t

整理得t-at=2,
∴a=1-
2
t
.…(13分)
t的取值范围是6≤t≤8.
综上所述:a=1+
4
t
(0<t≤6)或a=1-
2
t (6≤t≤8). …(14分)

1.A点坐标(2,2倍根3),解析式y=根3乘x. 2.T=12时,P(0,12)CPB为等边三角形,故CP=BC=4,得C(8,0)
3.当OP=8/3时,夹角为30度.当OP=6时,夹角为150度(30度.)即T=8/3或6成立

求图啊~~