已知：如图，AB为⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F． （1）求证：DE为⊙O的切线． （2）求证：AB：AC=BF：DF．
问题描述：
已知：如图，AB为⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F．
（1）求证：DE为⊙O的切线．
（2）求证：AB：AC=BF：DF．
答
证明：（1）连结DO、DA，
∵AB为⊙O直径，
∴∠CDA=∠BDA=90°，
∵CE=EA，
∴DE=EA，
∴∠1=∠4，
∵OD=OA，
∴∠2=∠3，
∵∠4+∠3=90°，
∴∠1+∠2=90°，
即：∠EDO=90°，
∵OD是半径，
∴DE为⊙O的切线；
（2）∵∠3+∠DBA=90°，∠3+∠4=90°，
∴∠4=∠DBA，
∵∠CDA=∠BDA=90°，
∴△ABD∽△CAD，
∴
=AB AC
，BD AD
∵∠FDB+∠BDO=90°，∠DBO+∠3=90°，
又∵OD=OB，
∴∠BDO=∠DBO，
∴∠3=∠FDB，
∵∠F=∠F，
∴△FAD∽△FDB，
∴
=BD AD
，BF DF
∴
=AB AC
，BF DF
即AB：AC=BF：DF．