已知函数f(x)=2ax-a2+1x2+1(x∈R)，其中a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）当a＜0时，求函数f（x）的单调区间与极值．

分类: 作业答案 • 2021-11-25 09:49:45

问题描述：

已知函数f(x)=

2ax-a2+1

x2+1

(x∈R)，其中a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）当a＜0时，求函数f（x）的单调区间与极值．

答

（Ⅰ）由f(x)=

2ax-a2+1

x2+1

(x∈R)，
当a=1时，f（x）=

x2+1

，f'（x）=

2-2x2

(x2+1)2

．
f（2）=

，则切点为（2，

）．
f'（2）=-

，则切线斜率为-

，
用点斜式得切线方程为：y-

（x-2），即3x+25y-26=0；
（Ⅱ）由f(x)=

2ax-a2+1

x2+1

(x∈R)，得
f'（x）=

-2ax2+(2a2-2)x+2a

(x2+1)2

-2(ax+1)(x-a)

(x2+1)2

．
当a＜0时，由-2（ax+1）（x-a）＞0，解得：a＜x＜-

．
由-2（ax+1）（x-a）＜0，解得：x＜a或x＞-

．
∴递减区间是（-∞，a），（-

，+∞），递增区间是（a，-

）．
极小值是f（a）=1，极大值是f（-

）=-a²．