火星和地球绕太阳的运动可以看作为同一平面内同方向的匀速圆周运动，已知火星的轨道半径R=1.5×1011m，地球的轨道半径r=1.0×1011m，从如图所示的火星与地球相距最近的时刻开始计时，估算火星再次与地球相距最近需多少地球年？（保留两位有效数字）
问题描述：
火星和地球绕太阳的运动可以看作为同一平面内同方向的匀速圆周运动，已知火星的轨道半径R=1.5×1011m，地球的轨道半径r=1.0×1011m，从如图所示的火星与地球相距最近的时刻开始计时，估算火星再次与地球相距最近需多少地球年？（保留两位有效数字）
答
知识点：本题也可运用开普勒周期定律
＝k求解火星的周期，这种方法更简洁．此题难度不大，属于中档题．
设行星质量为m，太阳质量为M，行星与太阳的距离为r，地球的周期为T1，火星的周期为T2，地球的轨道半径为r1，火星的轨道半径为r2．
根据万有引力定律，行星受太阳的万有引力F＝G
mM r2
行星绕太阳做近似匀速圆周运动，
根据牛顿第二定律有F=ma=mω2r
ω═
2π T
以上式子联立G
＝mmM r2
r4π2
T2
故T2＝
r34π2
GM
地球的周期为1年，
(
)2＝(T1 T2
)3r1 r2
火星的周期为T2=1.8年
设经时间t两星又一次距离最近，
根据θ=ωt
则两星转过的角度之差
△θ=(
−2π T1
)t=2 π2π T2
得t=2.3年．
答：火星再次与地球相距最近需2.3地球年．
答案解析：根据万有引力提供向心力G
＝mmM r2
r，可得T2＝4π2
T2
r3，对于和火星都有同样的关系，所以(4π2
GM
)2＝(T1 T2
)3，这样可以解出火星的周期．两星转过的角度之差△θ=(r1 r2
−2π T1
)t=2 π，可以解得t，即为火星再次与地球相距最近需要的时间．2π T2
考试点：人造卫星的加速度、周期和轨道的关系；牛顿第二定律；万有引力定律及其应用．
知识点：本题也可运用开普勒周期定律
| a3 |
| T2 |