已知锐角△ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆的半径,则∠A的度数是( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°
问题描述:
已知锐角△ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆的半径,则∠A的度数是( )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°
答
如图,设△ABC的外心为O,D为BC的中点,BO的延长线交⊙O于点E,连CE,AE.
锐角△ABC的垂心在三角形内部,
设H为三角形的垂心,则CE∥AH,AE∥CH.
则OB=AH=CE=2OD,
∴∠OBD=30°,
∴∠BOD=60°,
∴∠A=∠BOD=60°.
故选C.
答案解析:设△ABC的外心为O,D为BC的中点,BO的延长线交⊙O于点E,连CE,AE.因为锐角△ABC的垂心在三角形内部,设H为三角形的垂心.得到平行四边形AHCE,根据已知条件和三角形的中位线定理,得OB=AH=CE=2OD,根据直角三角形的边角关系求得∠BOD=60°,进一步根据圆周角定理求解.
考试点:三角形的外接圆与外心.
知识点:此题考查了平行四边形的判定和性质、三角形的中位线定理、圆周角定理以及垂心、外心的概念,三角形的垂心即为三角形的三条高的交点,三角形的外心即为三角形的垂直平分线的交点.