到一个三角形的三个顶点的距离的平方和最小的点,是这个三角形的

设三角形顶点为（a,0）,（b,0）,（0,c）.所求点为（x.y）.
要使L＝（c－y）²＋x²＋（x-b）²＋y²＋（x-a）²＋y² 最小，
不难计算:
L＝3[x-（a＋b）／3]¹＋[y-c／3]²＋2c²／3＋[a²＋b²＋（a-b）²]／3
显然，x＝（a＋b）／3
y＝c／3
时，L有最小值。而（（a＋b）／3，c／3）正是此三角形的重心。
∴三角形的重心到三角形的三个顶点的距离的平方和最小。
（Aurora710可能会问，这个方是怎么配的，其实，我先用微积分算出结果，
再按结果配出的。虽然不大好，但还是希望你满意。）

记得是用向量证的...

答案是重心：做法是建立直角坐标系为了方便三角形的一个顶点作为坐标原点（0,0）,一个边在X轴上（c,0）好算,然后设出另外一个点的坐标(m,n)；再设三角形内的任意一点为（x,y）把“（x,y）到三角形的三个顶点的距离的平方和”用m,n,x,y,c来表示,然后展开整理提取3后再配方,当2个平方项全是0时最小,此时x=(m+c)/3=(m+c+0)/3,y=n/3=(n+0+0)/3;刚好是重心的坐标公式；式子比较长但不难算.

内心