已知a，b，c是不全相等的正数，求证：（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c2）＞16abc．
问题描述：
已知a，b，c是不全相等的正数，求证：（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c2）＞16abc．
答
知识点：本题考查不等式的证明，关键是将（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c2）转化为（a+1）•（b+1）•（a+c）•（b+c），着重考查基本不等式的应用，属于中档题．
证明：∵ab+a+b+1=（a+1）•（b+1），ab+ac+bc+c2=（a+c）•（b+c），
∴（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c2）=（a+1）•（b+1）•（a+c）•（b+c），
∵a，b，c是正数，
∴a+1≥2
＞0，b+1≥2
a
＞0，a+c≥2
b
＞0，b+c≥2
ac
＞0，
bc
又a，b，c是不全相等的正数，
∴（a+1）（b+1）（a+c）（b+c）＞2
×2
a
×2
b
×2
ac
=16abc，
bc
∴（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c2）＞16abc．
答案解析：将（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c2）转化为（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c2）=（a+1）•（b+1）•（a+c）•（b+c），再结合条件a，b，c是不全相等的正数，应用基本不等式即可．
考试点：不等式的证明；基本不等式．
知识点：本题考查不等式的证明，关键是将（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c2）转化为（a+1）•（b+1）•（a+c）•（b+c），着重考查基本不等式的应用，属于中档题．