已知数列{an}的前n项和Sn=25n-2n2．（1）求证：{an}是等差数列．（2）求数列{|an|}的前n项和Tn．

分类: 作业答案 • 2021-12-19 17:27:52

问题描述：

已知数列{a_n}的前n项和S_n=25n-2n²．
（1）求证：{a_n}是等差数列．（2）求数列{|a_n|}的前n项和T_n．

答

（1）证明：①n=1时，a₁=S₁=23．
②n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（25n-2n²）-[25（n-1）-2（n-1）²]=27-4n，而n=1
适合该式．
于是{a_n}为等差数列．
（2）因为a_n=27-4n，若a_n＞0，则n＜

，所以|an|＝

an (1≤n≤6)

−an (n≥7)

，
当1≤n≤6时，T_n=a₁+a₂+a_n=25_n-2n²，
当n≥7时，T_n=a₁+a₂++a₆-（a₇+a₈++a_n）
=S₆-（S_n-S₆）=2n²-25n+156，
综上所知

25n−2n2 (1≤n≤6)

2n2−25n+156 (n≥7)

.
答案解析：（1）由S_n=25n-2n²．求得a_n，若a_n是关于n的一次函数则为等差数列；
（2）把|a_n|先去掉绝对值，再化为{a_n}数列求和
考试点：等差数列的前n项和．
知识点：本题主要考查数列的判断方法及数列求和问题．