设A为三阶对称矩阵,且满足A²+3A=0,已知A的秩为2,试问:当K为何值时,矩阵A+kE为正定矩阵快急

问题描述:

设A为三阶对称矩阵,且满足A²+3A=0,已知A的秩为2,试问:当K为何值时,矩阵A+kE为正定矩阵
快急

A²+3A=0
故A(A+3E)=0,故A只有特征值0和-3,
有因为r(A)=2
故A的特征值为-3,-3,0
A+kE的特征值为k-3,k-3,k
而A+kE的是正定的充要条件是他的特征值均大于零.
故k>3时,A+kE为正定矩阵.
注:本题证明依赖A是实三阶对称矩阵.