△ABC中,tanA,tanB是3x2+8x-1=0的两个实数根,则4sin2C-3sinCcosC-5cos2C=______.

问题描述:

△ABC中,tanA,tanB是3x2+8x-1=0的两个实数根,则4sin2C-3sinCcosC-5cos2C=______.

△ABC中,tanA,tanB是3x+8x-1=0的两个实数根,
可得tanA+tanB=-

8
3
,tanAtanB=-
1
3

所以tan(A+B)=
tanA+tanB
1-tanAtanB
=
-
8
3
4
3
=-2
,即tanC=-2,
所以4sin2C-3sinCcosC-5cos2C=9sin2C-3sinCcosC-5cos2C=
9sin2C-3sinCcosC-5cos2C
sin2C+cos2C
=
9tan2C-3tanC-5
tan2C+1
=5
故答案为5.
答案解析:由题意,先由根与系数的关系求出tan(A+B)的值,得出tanC的值,再将4sin2C-3sinCcosC-5cos2C用tanC表示出即可求值.
考试点:三角函数中的恒等变换应用;同角三角函数基本关系的运用.
知识点:本题考查了两角和的正切公式,同角三角函数的基本关系,根与系数的关系,涉及到的知识点较多,综合性较强.