设群G的阶数为素数P.(1)证明:G为循环群(2)找出G的所有生成元

问题描述:

设群G的阶数为素数P.(1)证明:G为循环群(2)找出G的所有生成元

(1)
任取G的一个不为单位元的元素a,考查由a生成的子群.
这是一个循环群,且为G的子群.
由Lagrange定理,这个群的阶数整除P,而显然不是平凡群(因为a不是单位元),而P为素数,故的阶数只能为P.
那么其实就是整个群G.从而G为循环群.
(2)
由上面证明看出,任何一个不为单位元的元素都是G的生成元.
不懂可以再问~