证明不等式|a+b|/1+|a+b|

考虑函数f(x)＝x/(1＋x)＝1－1/(1＋x)，当x＞0时，函数f(x)是增函数
∵|a＋b|≤|a|＋|b|
∴f(|a＋b|)≤f(|a|＋|b|)
∴|a＋b|/(1＋|a＋b|)≤(|a|＋|b|)/(1＋|a|＋|b|)

|a+b|/（1+|a+b|）1、当a+b=0,或a=b=0时，不等式显然成立，
2、当a+b≠0,且a=b≠0时，不等式两边取倒数（不等式变向）得1/|a+b|≥1/(|a|+|b| )
等价于证明 1/|a+b|≥1/(|a|+|b| ) 成立
因 |a|+|b| ≥|a+b| ，得1/|a+b|≥1/(|a|+|b| )成立，
得证

证明：【法一】1、设 |a+b|≠0
则,|a|+|b|》|a+b|>0
所以,1/(|a|+|b|)《1/|a+b|
所以,1/(|a|+|b|)+1《1/|a+b| +1
所以,(1+|a|+|b|)/(|a|+|b|)《(1+|a+b| )/|a+b|
所以,上式倒过来得：,(|a|+|b|)/(1+|a|+|b|)》|a+b| /(1+|a+b|)
即：|a+b|/1+|a+b|